L'equació del pla: com fer? Tipus d'equacions avió

L'espai pla es pot definir de diferents maneres (un punt i vector, el vector i els dos punts, tres punts, etc.). És amb això en ment, l'equació avió pot tenir diferents tipus. També sota certes condicions d'avió pot ser paral·lela, perpendicular, intersecció, etc. En aquesta i parlarà en aquest article. Anem a aprendre a fer l'equació general del pla i no només.

La forma normal de l'equació

Suposem que R és l'espai _3, que té una coordenada rectangular sistema XYZ. Definim un vector α, que seran alliberades des del punt de partida O. A través de l'extrem del vector α dibuixen pla P que és perpendicular a aquesta.

Denotem P a una arbitrària punt Q = (x, y, z). El radi vector del punt Q signen carta pàg. La longitud del vector és igual a α p = IαI i ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Aquest vector unitat, que es dirigeix a la direcció com a vector α. α, β i γ - són angles que es formen entre el vector i les adreces positives ʋ eixos espacials x, i, z, respectivament. La projecció d'un punt en vector QεP ʋ és una constant que és igual a p (p, ʋ) = p (r≥0).

L'equació anterior és significatiu quan p = 0. L'únic pla n en aquest cas, seria creuar el punt O (α = 0), que és l'origen, i ʋ unitat vector, llançat des del punt O serà perpendicular a P, encara que la seva direcció, el que significa que el ʋ vector determina fins al signe. equació anterior és el nostre pla P, expressada en forma de vector. Però en vista de les seves coordenades és:

P és més gran que o igual a 0. Hem trobat l'equació pla en forma normal.

L'equació general

Si l'equació en les coordenades multiplicar per qualsevol nombre que no és igual a zero, obtenim l'equació equivalent a això que defineix el pla mateix. Que té la forma:

Aquí, A, B, C - és el nombre d'simultàniament diferent de zero. Aquesta equació s'anomena l'equació de la forma general de l'avió.

Les equacions dels plans. casos especials

L'equació general pot ser modificat amb condicions addicionals. Penseu alguns d'ells.

Suposeu que el coeficient A és 0. Això indica que el pla paral·lel a la Ox eix predeterminat. En aquest cas, la forma de l'equació canvia: Wu + Cz + D = 0.

De la mateixa manera, la forma de l'equació i variarà amb les condicions següents:

• En primer lloc, si B = 0, l'equació canvis a Ax + Cz + D = 0, el que indicaria el paral·lelisme a l'eix Oy.
• En segon lloc, si C = 0, l'equació es transforma en Ax + By + D = 0, és a dir aproximadament paral·lela a l'eix predeterminat Oz.
• En tercer lloc, si D = 0, l'equació apareixerà com Ax + By + Cz = 0, el que significaria que el pla intersecta O (l'origen).
• En quart lloc, si A = B = 0, l'equació canvis en Cz + D = 0, que contribuirà de paral·lelisme Oxy.
• En cinquè lloc, si B = C = 0, l'equació es converteix Ax + D = 0, el que significa que el pla és paral·lel al Oyz.
• En sisè lloc, si A = C = 0, l'equació pren la forma Wu + D = 0, és a dir, ha d'informar la Oxz paral·lelisme.

Forma de l'equació en segments

En el cas en què els nombres A, B, C, D diferent de zero, la forma de l'equació (0) pot ser com segueix:

x / a + b / i + z / c = 1,

en què a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Que vam rebre com a resultat de l'equació d'avió a trossos. Cal assenyalar que aquest pla es creuarà l'eix x en el punt amb coordenades (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), i Oz - (0,0, s).

Donada l'equació x / a + b / i + z / c = 1, no és difícil de visualitzar el pla de col·locació relativa a un sistema de coordenades predeterminat.

Les coordenades del vector normal

El vector normal n al pla P té coordenades, que són els coeficients de l'equació general del pla, és a dir, n (A, B, C).

Per tal de determinar les coordenades de la normal n, és suficient conèixer l'equació general donat pla.

Quan s'utilitza l'equació en segments, que té la forma x / a + b / i + z / c = 1, com quan s'utilitza l'equació general es pot coordenades de qualsevol vector normal escrit un pla donat: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Cal assenyalar que el vector normal d'ajudar a resoldre diversos problemes. Els problemes més comuns són consistents en plans perpendiculars o paral·leles a prova, la tasca de trobar els angles entre els plans o els angles entre els plans i línies rectes.

Tipus segons l'equació en el pla i les coordenades del vector normal punt

Un vector n diferent de zero, perpendicular a un pla donat, anomenat normal (normal) a un pla predeterminat.

Suposem que en l'espai de coordenades (sistema de coordenades rectangulars) Oxyz establir:

• punt de coordenades Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = A * i + C * B * j + k.

Cal fer equació del pla que passa pel punt Mₒ perpendicular a la normal n.

A l'espai de triar qualsevol punt arbitrari i denotem M (x, i, z). Deixeu que el radi vector de cada punt M (x, i, z) serà r = x * i + I * Z * k el vector de ràdio d'un Mₒ punt j +, i (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. El punt M pertanyerà a un pla donat, si el MₒM vector sigui perpendicular al vector de n. Escrivim la condició d'ortogonalitat utilitzant el producte escalar:

[MₒM, n] = 0.

Des MₒM = r-rₒ, l'equació vectorial del pla es veurà així:

[R - rₒ, n] = 0.

Aquesta equació també pot tenir una altra forma. Per a aquest propòsit, les propietats del producte escalar, i converteixen la banda esquerra de l'equació. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Si [rₒ, n] denota com s, obtenim la següent equació: [r, n] - a = 0 o [R, n] = s, que expressa la constància de les projeccions sobre el vector normal del ràdio-vectors dels punts donats que pertanyen avió.

Ara es pot obtenir el pla de coordenades de registre del tipus nostre vector equació [r - rₒ, n] = 0. Com r-rₒ = (x-hₒ) * i + (i-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, i n = A * i + B * j + C * k, tenim:

Resulta que tenim l'equació està format pla que passa pel punt perpendicular a la normal n:

A * (x hₒ) + B * (i uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tipus segons l'equació en el pla i coordenades de dos punts de la alineats pla vector

Definim dos punts arbitraris M '(x', i 'z') i M "(x", i ", z"), així com el vector (a ', a ", un' '').

Ara podem escriure l'equació defecte pla que passa pel punt M existent 'i M ", i cada punt amb els M coordenades (x, y, z) paral·lel a un vector donat.

Així vectors M'M x = {x 'i-i'; zz '} i M "M = {x" -X', i 'i'; z "-z '} hauria de ser coplanar amb el vector a = (a ', a "un' ''), la qual cosa vol dir que (M'M M" M, a) = 0.

Així que la nostra equació d'un pla en l'espai es veurà així:

Tipus d'equació en el pla, creuant tres punts

Suposem que tenim tres punts: (x 'i', z '), (x', i 'z'), (x '' '' '' Has, z '' '), que no pertanyen a la mateixa línia. Cal escriure l'equació del pla que passa pels tres punts especificats. La teoria sosté que la geometria d'aquest tipus d'avió existeix, és només un i únic. Des d'aquest pla intersecta el punt (x 'i', z '), la seva forma d'equació seria:

Aquí, A, B, i C són diferents de zero al mateix temps. També pla donat intersecta dos punts més (x "i" z ") i (x '' ', i' '', z '' '). Referent a això, s'ha de dur a terme aquest tipus de condicions:

Ara podem crear un sistema uniforme d'equacions (lineals) amb incògnites u, v, w:

En el nostre cas x, i z destaca punt arbitrari que satisfà l'equació (1). Tenint en compte l'equació (1) i un sistema d'equacions (2) i (3) el sistema d'equacions que s'indiquen a la figura anterior, el satisfà vector N (A, B, C), que és no trivial. Es deu al fet que el determinant del sistema és zero.

L'equació (1) que tenim, aquesta és l'equació del pla. 3 punts que realment passa, i és fàcil de comprovar. Per a això, vam ampliar el determinant pels elements de la primera fila. De les propietats existents determinant dedueix que el nostre pla talla simultàniament les tres punt predeterminat originalment (x 'i', z '), (x "i" z "), (x' '', i '' ', z' ''). Així que vam decidir la tasca davant nostre.

angle diedre entre els plans

angle diedre és una forma geomètrica espacial format per dos semiplans que emanen d'una línia recta. En altres paraules, part de l'espai que es limita als semiplans.

Suposem que tenim dos plans amb les següents equacions:

Sabem que el vector N = (A, B, C) i N $ ¹ $ = (A $ ¹ $, H¹, s¹) d'acord amb els plans predeterminats són perpendiculars. En aquest sentit, l'angle φ entre els vectors N i N $ ¹ $ igual angle (diedre), que es troba entre aquests plans. El producte escalar està donada per:

NN¹ = | N | || N $ ¹ $ cos φ,

precisament perquè

cos = NN¹ / | N || N $ ¹ $ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A $ ² $ + s² + V ²)) * (√ (A $ ¹ $) ² + (H¹) ² + (s¹) ²)).

És suficient per considerar que 0≤φ≤π.

En realitat dos plans que s'intersecten, formen dos angle (díedre) :? ₁ i φ _2. La seva suma és igual a pi (φ ₁ + φ ₂ = π). Quant als seus cosinus, els seus valors absoluts són iguals, però són diferents signes, és a dir, cos ₁ = -cos φ _2. Si en l'equació (0) se substitueix per A, B i C de -A, -B i -C, respectivament, l'equació, obtenim, ha de determinar el mateix pla, l'únic angle φ en cos equació φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Serà reemplaçat per π-φ.

L'equació del pla perpendicular

Anomenat perpendicular pla, entre els quals l'angle és de 90 graus. Usant el material que es presenta anteriorment, podem trobar l'equació d'un pla perpendicular a l'altra. Suposem que tenim dos plans: Ax + By + Cz + D = 0 i + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Podem dir que són ortogonals si cos = 0. Això vol dir que NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

L'equació d'un pla paral·lel

Es feia referència a dos plans paral·lels que no contenen punts en comú.

La condició de plans paral·lels (les seves equacions són els mateixos que en el paràgraf anterior) és que els vectors de N i N $ ¹ $, que són perpendiculars a ells, colineals. Això vol dir que les condicions es compleixen proporcionalitat:

A / A $ ¹ $ = B / C = H¹ / s¹.

Si els termes proporcionals s'expandeixen - A / C $ ¹ $ = B / C = H¹ / s¹ = DD¹,

això indica que el plànol de dades de la mateixa. Això vol dir que l'equació Ax + By + Cz + D = 0 i + A¹h V¹u S¹z + + D $ ¹ $ = 0 descriure un pla.

La distància des del punt al pla

Suposem que tenim un pla P, que es dóna per (0). Cal trobar la distància des del punt de coordenades (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , És necessari per dur l'equació en l'aparença normal del pla II perquè sigui:

(Ρ, v) = P (r≥0).

En aquest cas, ρ (x, i, z) és el radi vector del nostre punt Q, es troba en n p - n és la longitud de la perpendicular, que va ser llançat des del punt zero, v - és el vector d'unitat, que està disposat a l'adreça a.

El ρ-ρº radi vector diferència d'un punt Q = (x, y, z), propietat de P i el vector de ràdio d'un punt donat Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) és el vector, el valor absolut de la projecció dels quals en v és igual a la distància d, que és necessari per trobar a partir de Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) a P:

D = | ^{(ρ ρ-0,} v) |, però

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Així que resulta,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Ara està clar que per calcular la distància d de ₀ a Q pla P, és necessari l'ús normal equació vista en planta, el desplaçament a l'esquerra de p, i l'últim lloc de x, i, z substitut (hₒ, uₒ, zₒ).

Per tant, ens trobem amb el valor absolut de l'expressió resultant que es requereix d.

Utilitzant els paràmetres del llenguatge, obtenim que és obvi:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A $ ² $ + V ² + s²).

Si el punt Q especificat ₀ està a l'altra banda del plànol P com l'origen, a continuació, entre el vector ρ-ρ ⁰ i V és un angle obtús, per tant:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

En el cas quan el punt Q ₀ en conjunt amb l'origen es troba en el mateix costat de l'O, es crea l'angle agut, és a dir:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

El resultat és que en el primer cas (ρ ^0, v)> p, en el segon (ρ ^0, v)

I la seva equació pla tangent

Quant l'avió a la superfície en el punt de tangència Mº - un plànol que conté tots els possibles tangent a la corba dibuixada a través d'aquest punt de la superfície.

Amb aquesta forma de la superfície de l'equació F (x, y, z) = 0 en l'equació de la Mº punt pla tangent tangent (Hº, Uº, Zº) seria:

F _x (Hº, Uº, Zº) (Hº x) + F _x (Hº, Uº, Zº) (Uº i) + F _x (Hº, Uº, Zº) (z-Zº) = 0.

Si la superfície s'estableix explícitament z = f (x, y), llavors el pla tangent es descriu per l'equació:

z-Zº = f (Hº, Uº) (Hº x) + f (Hº, Uº) (i Uº).

La intersecció de dos plans

En l'espai tridimensional és un sistema de coordenades (rectangular) Oxyz, donat dos plans P 'i P' que es superposen i no coincideixen. Atès que qualsevol pla que és en un sistema rectangular de coordenades es defineix per l'equació general, suposem que P 'i P "es donen per les equacions A'x + + V'u S'z + D' = 0 i A" x + B "I + amb "z + D" = 0. En aquest cas tenim normal n '(A', B 'C') del plànol P 'i el núm normal "(A", B "C") del plànol P'. Com el nostre avió no són paral·leles i no coincideixen, llavors aquests vectors no estan alineats. Usant el llenguatge de les matemàtiques, tenim aquesta condició es pot escriure com: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * I", λ * A "λ * C"), λεR. Que la línia recta que es troba a la intersecció P 'i P ", es designa per la lletra a, en aquest cas a = P' ∩ P".

i - una línia que consisteix en una pluralitat de punts (comuns) plànols P 'i P ". Això vol dir que les coordenades de qualsevol punt que pertany a la línia a, han de satisfer simultàniament l'equació A'x + V'u S'z + + D '= 0 i A "x + B' z + C i" + D "= 0. Això vol dir que les coordenades del punt seran una solució particular de les següents equacions:

El resultat és que la solució (en general) d'aquest sistema d'equacions serà determinar les coordenades de cada un dels punts en la línia que actuarà com el punt d'intersecció P 'i P ", i determinar una línia en un sistema de coordenades Oxyz espai (rectangular).