Transformada de Fourier. transformada ràpida de Fourier. transformada de Fourier discreta

transformació de Fourier - la transformació, l'associació d'una certa funció d'una variable real. Aquesta operació es realitza cada vegada que percebem diferents sons. Auditiu genera "càlcul" automàtic, que compleix la nostra consciència només pot després que l'examen de la secció de matemàtiques superiors. òrgan d'audició en una transformació humana construeix, en el qual es proporciona el so (moviment de vibració convencional de partícules en un medi elàstic, que es propaguen en forma d'ona en el medi sòlid, líquid o gasós) en una gamma de valors consecutius del nivell de volum dels tons de diferents altures. Després d'això, el cervell converteix la informació en tot el so familiar.

transformada de Fourier matemàtica

La conversió de les ones de so o processos altra vibració (per emissió de llum i la marea oceà i als cicles estel·lars o solars) es pot realitzar i per mitjà de mètodes matemàtics. Per tant, l'ús d'aquestes tècniques, les funcions es poden ampliar mitjançant la introducció de processos vibracionals conjunt de components sinusoïdals, és a dir, corbes ondulades que van des d'un mínim a un màxim i després de nou a un mínim, igual que l'onada del mar. transformació de Fourier - funció de transformació que descriu la fase o amplitud de cada sinusoide corresponent a una freqüència particular. La fase és un punt de partida de la corba, i l'amplitud - de la seva alçada.

transformada de Fourier (exemples es mostren a la foto) és una eina molt poderosa, que s'utilitza en diversos camps de la ciència. En alguns casos, s'utilitza com una solució d'equacions bastant complexes que descriuen els processos dinàmics que es produeixen sota la influència de llum, calor o energia elèctrica. En altres casos, se li permet definir els components regulars de formes d'ona complexes, pel fet que això pot ser cert per interpretar diverses observacions experimentals en la química, la medicina i l'astronomia.

informació històrica

La primera persona a aplicar aquest mètode va ser el matemàtic francès Zhan Batist Fure. Conversió, posteriorment nomenat després d'ell, es va utilitzar originalment per descriure el mecanisme de conducció de calor. Fourier tota la seva vida adulta participat en l'estudi de les propietats de la calor. Va fer una enorme contribució a la teoria matemàtica de la determinació de les arrels d'equacions algebraiques. Fourier era un professor d'anàlisi a l'Escola Politècnica, el secretari de l'Institut d'Egiptologia, va ser el servei imperial, el que va causar un gran enrenou en el moment de la construcció de la carretera a Torí (sota la seva direcció va ser drenat de més de 80 mil quilòmetres quadrats de pantans malària). No obstant això, tot aquest activisme no va aturar el científic involucrat en l'anàlisi matemàtica. En 1802 es deriva una equació que descriu la propagació de la calor en els sòlids. En 1807, el científic va descobrir un mètode per resoldre aquesta equació, que es coneixia com "transformada de Fourier".

anàlisi conductivitat tèrmica

Els investigadors van utilitzar un mètode matemàtic per descriure el mecanisme de conducció de calor. Un exemple pràctic, en el qual cap dificultat en el càlcul és la propagació de l'energia tèrmica per un anell de ferro, una part immers en un incendi. Per dur a terme experiments de Fourier part calenta vermella de l'anell i l'enterren a la sorra fina. Després d'això, els mesuraments de temperatura van dur a terme a la part oposada de la mateixa. Inicialment, la distribució de calor és irregular: part de l'anell - fred, i l'altre - calent, entre les zones pot observar un gradient de temperatura agut. No obstant això, durant la distribució de calor a través de la superfície del metall, es fa més uniforme. Així que, en breu, aquest procés pren la forma d'una ona sinusoïdal. Primer gràfic augmenta gradualment i també disminueix sense problemes, amb precisió les lleis de la variació del cosinus o funció si. Wave va igualar poc a poc i com a resultat la temperatura sigui uniforme en tota la superfície de l'anell.

L'autor d'aquest mètode suposa que la distribució inicial és força irregular es pot descompondre en una sèrie d'ones sinusoïdals elementals. Cada un d'ells tindrà la seva fase (posició inicial) i la seva temperatura màxima. Per tant cada un d'aquests canvis de components des d'un mínim fins a un màxim i de la part per completar revolució al voltant dels temps d'anell d'enters. Component que té un període que va ser cridat l'harmònic fonamental, i el valor amb dos o més períodes - el segon i així successivament. Per exemple, una funció matemàtica que descriu la temperatura màxima, la fase o la posició flama transformada de Fourier de la funció de distribució. Científic va portar un únic component que és difícil descripció matemàtica, per gaudir d'eines fàcils d'usar - files de sinus i el cosinus, en la quantitat de donar la distribució inicial.

L'essència de l'anàlisi

L'aplicació d'aquesta anàlisi a la conversió de la distribució de la calor en l'objecte sòlid, que té una forma anular, un matemàtic va raonar que l'augment dels períodes de components sinusoïdals condueixen a la seva ràpida amortiment. Això es veu clarament en les principals i segon harmònics. La temperatura final arriba al doble dels valors màxim i mínim en una sola passada, i en el primer - només una vegada. Resulta que la distància recorreguda per la calor en el segon harmònic és un mitjà que el del nucli. A més, el gradient de la segona meitat també serà més pronunciada que la primera. Per tant, ja que un flux tèrmic més intens passa vídua de distància mínima, llavors això serà esmorteïda harmònica quatre vegades més ràpid que el principal, com una funció del temps. En el següent procés serà encara més ràpid. Matemàtic creu que aquest mètode ens permet calcular el procés de la distribució inicial de la temperatura amb el temps.

contemporanis de trucades

Transformada de Fourier algoritme s'ha convertit en un desafiament als fonaments teòrics de les matemàtiques en el moment. A principis del segle XIX, la majoria dels científics prominents, incloent Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre i Biot no van acceptar la seva afirmació que la temperatura de la distribució inicial es descompon en components en la forma de l'ona fonamental i més freqüència. No obstant això, l'Acadèmia de Ciències no podia ignorar els resultats obtinguts matemàtic, i li va atorgar el Premi a la teoria de la conducció de la calor de les lleis, així com la realització de la seva comparació amb experiments físics. En l'enfocament de Fourier, l'objecció principal és el fet que una funció discontínua està representada per una suma de diverses funcions sinusoïdals, que són contínues. Després de tot, ells descriuen les línies rectes i corbes de ruptura. científic contemporani mai havia trobat una situació tal, quan les funcions discontínues descrits per una combinació de contínua, com quadràtica, lineal, sinusoïdal o expositor. En el cas que un matemàtic tenia raó en les seves afirmacions, la suma d'una sèrie infinita de funcions trigonomètriques s'ha de limitar a la velocitat exacta. Encara que tal afirmació semblava absurd. No obstant això, tot i els dubtes d'alguns investigadors (per exemple, Claude Navier, Sofi Zhermen) ampliat l'abast de la investigació i els va treure de l'anàlisi de la distribució de la calor. A les matemàtiques, per la seva banda, va continuar patint la qüestió de si una suma de diverses funcions sinusoïdals es redueix a una representació exacta de l'explosió.

200 anys d'història

Aquesta teoria ha evolucionat al llarg de dos segles, avui es forma finalment. Amb l'ajuda de les funcions espacials o temporals es trenquen en components sinusoïdals que tenen una freqüència, fase i amplitud. Aquesta conversió s'obté mitjançant dos mètodes matemàtics diferents. El primer d'ells s'utilitza en el cas quan la font és una funció contínua, i el segon - en el cas en què està representada per una pluralitat de canvis individuals discrets. Si s'obté l'expressió dels valors, que es defineixen a intervals discrets, pot ser dividida en diverses discretes expressions freqüències sinusoïdals - des de la més baixa i després es va duplicar, es va triplicar, i així successivament per sobre de la fonamental. Aquesta quantitat es diu la sèrie de Fourier. Si l'expressió inicial estableix el valor de cada nombre real, pot ser dividit en múltiples sinusoïdals totes les freqüències possibles. Es diu integral de Fourier, i la decisió implica una transformació de la funció integral. Independentment del mètode per a l'obtenció de transformació, per a cada freqüència d'indicar dos nombres: amplitud i freqüència. Aquests valors s'expressen com un únic nombre complex. Expressió teoria variables complexes juntament amb transformació de Fourier per a realitzar càlculs va permetre el disseny de diferents circuits elèctrics, l'anàlisi de vibracions mecàniques, l'estudi de mecanisme de propagació de l'ona i una altra.

Avui transformada de Fourier

Avui dia, l'estudi d'aquest procés bàsicament es redueix a la recerca de mètodes eficaços per a la transició de la funció per convertir de nou a la ment. Aquesta solució es diu la transformada de Fourier directa i inversa. Què vol dir? Per tal de determinar la integral i crea una transformada de Fourier directa, pot utilitzar els mètodes matemàtics, però es pot analítica. Malgrat el fet que quan s'utilitzen en la pràctica hi ha algunes dificultats, la majoria de les integrals ja han estat comprovades i consignades en els manuals de matemàtiques. Amb expressions l'ajuda de mètodes numèrics es pot calcular, la forma que es basen en les dades experimentals, una funció el integrals a les taules falten, i són difícils d'imaginar en forma analítica.

Abans de l'arribada dels càlculs d'enginyeria informàtica tals transformacions han estat molt tediós, que requereixen l'execució manual d'un gran nombre d'operacions aritmètiques que depenen de la quantitat de punts que descriuen la funció d'ona. Per facilitar la resolució d'avui, hi ha programes especials, s'admeten per implementar nous mètodes analítics. Així, el 1965, Dzheyms Kuli i Dzhon Tyuki creat un programari que es va conèixer com "Fast Fourier Transform". S'estalvia el temps del càlcul en reduir el nombre de multiplicacions en l'anàlisi de la corba. "Fast Fourier Transform" El mètode es basa en dividir la corba en un gran nombre de valors de mostres uniformes. En conseqüència, el nombre de multiplicacions es redueix a la meitat en la mateixa reducció del nombre de punts.

L'aplicació de la transformada de Fourier

Aquest procés s'utilitza en diversos camps: En teoria de nombres, la física, processament de senyals, la combinatòria, teoria de la probabilitat, la criptografia, estadístiques, oceanografia, òptica, acústica, i altres geometries. riques possibilitats per al seu ús es basen en una sèrie de característiques útils, que es diuen "Propietats de la transformació de Fourier." Examinem ells.

1. La funció de conversió és un operador lineal i una normalització corresponent és unitari. Aquesta propietat es coneix com el teorema de Parseval, o en el cas general, el teorema de dualitat Plansherelja o Pontrjagin.

2. La conversió és reversible. D'altra banda, el resultat oposat és de forma substancialment similar com en l'adreçament directe.

3. Les expressions bàsiques sinusoïdals són les seves pròpies funcions diferenciades. Això vol dir que tal representació canvia equacions lineals amb coeficients constants en un algebraica convencional.

4. D'acord amb el teorema "convolució", el procés fa una operació complexa en la multiplicació primària.

5. Transformada Discreta de Fourier es pot dissenyar ràpidament en un ordinador utilitzant el mètode "ràpid".

Les variacions de la transformada de Fourier

1. El més sovint el terme s'utilitza per referir-se a una transformació contínua, proporcionant qualsevol expressió cuadráticamente integrable com la suma de l'expressió exponencial complexa amb freqüències angulars específiques i amplituds. Aquesta espècie té diverses formes diferents, que poden ser diferents coeficients constants. El mètode continu inclou una taula de conversió, que es pot trobar en els manuals matemàtics. Un cas generalitzat és la conversió fraccional, de manera que aquest procés pot ser elevat a la potència real desitjada.

2. El mètode continu és una generalització de la tècnica anterior de les sèries de Fourier definit per a qualsevol funcions periòdiques o expressions, que hi ha en una àrea limitada i els representen com una sèrie de sinusoides.

3. transformada de Fourier discreta. Aquest mètode s'utilitza en el càlcul per al càlcul científic i processament de senyals digitals. Per dur a terme aquest tipus de càlcul que es requereix per tenir una funció de determinar en un conjunt discret de punts individuals, regió periòdica o limitada en lloc d'integrals de Fourier contínues. la conversió del senyal en aquest cas es representa com una suma de sinusoides. L'ús del mètode "ràpid" permet l'ús de solucions digitals per a tots els propòsits pràctics.

4. La finestra de transformada de Fourier és una visió generalitzada del mètode clàssic. A diferència de les solucions estàndard quan s'usa l'espectre del senyal, que es pren en la gamma completa de l'existència d'aquesta variable és de particular interès aquí és només la distribució de freqüència local, mentre que el manteniment de la variable original (temps).

5. transformada de Fourier bidimensional. Aquest mètode s'utilitza per treballar amb bidimensionals matrius de dades. En aquest cas, la conversió es realitza en una direcció, i després - en l'altra.

conclusió

Avui en dia, el mètode de Fourier està fermament arrelada en els diversos camps de la ciència. Per exemple, el 1962 es va obrir la forma de l'hèlix doble d'ADN usant l'anàlisi de Fourier en combinació amb difracció de raigs X. vidres recents es van centrar en les fibres d'ADN, el que resulta en una imatge que s'obté per la difracció, gravada en la pel·lícula. Aquesta foto va donar informació sobre el valor de l'amplitud mitjançant l'ús de la transformada de Fourier a aquesta estructura cristal·lina. dades de fase obtinguda mitjançant la comparació de la targeta de difracció d'ADN amb les targetes que s'obtenen en l'anàlisi d'estructures químiques similars. Com a resultat, els biòlegs restaurats estructura cristal·lina - la funció original.

Transformada de Fourier jugar un paper molt important en l'estudi de l'espai exterior, la física dels materials semiconductors i plasma de microones, l'acústica, l'oceanografia, el radar, la sismologia i exàmens mèdics.