Què és l'aritmètica? El teorema principal de l'aritmètica. Aritmètica binària

Què és l'aritmètica? Quan va començar la humanitat a utilitzar els números i treballar amb ells? D'on vénen les arrels d'aquests conceptes comuns, com els nombres, les fraccions, la resta, l' addició i la multiplicació, que l'home ha fet part inseparable de la seva vida i visió del món? Les ments gregues antigues admiran les ciències, com ara les matemàtiques, l'aritmètica i la geometria, com les simfonies més belles de la lògica humana.

Potser l'aritmètica no és tan profunda com altres ciències, però, què els hauria passat, oblidar la taula elemental de la multiplicació? El pensament lògic habitual, utilitzant nombres, fraccions i altres eines, no es donava fàcilment a les persones i durant molt de temps no estava disponible per als nostres avantpassats. De fet, abans del desenvolupament de l'aritmètica, cap àrea del coneixement humà era realment científica.

L'aritmètica és l'alfabet de les matemàtiques

L'aritmètica és la ciència dels números amb què qualsevol persona comença a familiaritzar-se amb el fascinant món de les matemàtiques. Com va dir M. Lomonosov, l'aritmètica és la porta d'entrada de la beca, que ens obre el camí cap al coneixement del món. Però té raó, pot el coneixement del món separar-se del coneixement dels números i les lletres, les matemàtiques i el discurs? Potser en els temps anteriors, però no en el món modern, on el ràpid desenvolupament de la ciència i la tecnologia dicta les seves lleis.

La paraula "aritmètica" (grec "arithmos") d'origen grec, significa "nombre". Ella estudia el nombre i tot el que es pot connectar amb ells. Es tracta d'un món de nombres: diferents accions sobre números, regles numèriques, resolució de problemes que impliquen multiplicació, resta, etc.

En general, s'accepta que l'aritmètica és el pas inicial de les matemàtiques i una base sòlida per a seccions més complexes, com ara àlgebra, matanálisis, matemàtiques superiors, etc.

L'objecte principal de l'aritmètica

La base de l'aritmètica és un enter que les propietats i les regularitats es consideren en la teoria d' aritmètica o de nombres superiors. De fet, la força de l'edifici sencer: les matemàtiques depenen de com es pren el mètode correcte en considerar un bloc tan petit com un nombre natural.

Per tant, la qüestió del que és aritmètica pot respondre simplement: és la ciència dels nombres. Sí, sobre els habituals set, nou i tota aquesta comunitat diversa. I igual que no pots escriure poemes bons i mediocres sense alfabet elemental, sense aritmètica, no pots resoldre ni tan sols un problema elemental. Per això, totes les ciències només han avançat després del desenvolupament de l'aritmètica i la matemàtica, ja que abans eren només un conjunt d'hipòtesis.

Aritmètica: ciència fantasma

Què és l'aritmètica: ciència natural o fantasma? De fet, com diuen els antics filòsofs grecs, no hi ha números ni xifres en la realitat. Això és només un fantasma que es crea en el pensament humà quan es considera el medi ambient amb els seus processos. De fet, què és un número? En tot arreu no veiem res d'aquesta manera, que es podria anomenar un nombre, sinó que un nombre és una forma de la ment humana d'estudiar el món. I potser aquest és un estudi de nosaltres mateixos des de dins? Els filòsofs han argumentat sobre això durant molts segles seguits, de manera que no fem una resposta exhaustiva. D'una manera o altra, l'aritmètica va aconseguir prendre les seves posicions tan fermament que, en el món actual, ningú no es pot considerar socialment adaptat sense conèixer els seus fonaments.

Com apareix un nombre natural

Per descomptat, l'objecte principal operat per aritmètica és un nombre natural, com 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... L'aritmètica dels nombres naturals és el resultat de comptar objectes comuns, per exemple, vaques en un prat. Encara així, la definició de "molt" o "poc" una vegada que va deixar de respondre a les persones, i vaig haver d'inventar millors tècniques de comptar.

Però un veritable avanç es va produir quan el pensament humà va arribar al punt que és possible designar amb el mateix número "dos" 2 quilograms, 2 maons i 2 parts. El fet és que heu d'abstreure dels formularis, les propietats i el significat dels objectes, llavors podeu fer algunes accions amb aquests objectes en forma de números naturals. Així va néixer l'aritmètica dels nombres, que es van desenvolupar i expandir, ocupant posicions cada vegada més grans en la vida de la societat.

Aquestes nocions en profunditat de nombres com zero i un número negatiu, fraccions, designacions numèriques en nombres i d'altres maneres, tenen una història rica i interessant de desenvolupament.

Egipcis aritmètics i pràctics

Dos dels companys més antics en l'estudi del món circumdant i la resolució de problemes quotidians són l'aritmètica i la geometria.

Es creu que la història de l'aritmètica s'origina a l'Orient antic: a l'Índia, Egipte, Babilònia i Xina. Així, el papir de Rinda d'origen egipci (anomenat així, perquè pertanyia a l'amo del mateix nom), datat del segle XX. BC, llevat d'altres dades valuoses, conté la descomposició d'una fracció per la suma de fraccions amb diferents denominadors i un numerador igual a un.

Per exemple: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Però, quin és el punt d'una descomposició tan complexa? El fet és que l'enfocament egipci no tolerava el pensament abstracte sobre els nombres, al contrari, els càlculs només es feien amb finalitats pràctiques. És a dir, l'egipci tractarà com càlculs, per exemple, per construir una tomba. Era necessari calcular la longitud de la vora de l'estructura, i això obligava a la persona a asseure's per papir. Pel que sembla, el progrés egipci en els càlculs va ser causat, més aviat per la construcció massiva, en lloc de l'amor a la ciència.

Per aquest motiu, els càlculs trobats en papirs no es poden anomenar reflexions sobre fraccions. Probablement, es tracta d'una contractació pràctica, que va ajudar en el futur a resoldre problemes amb fraccions. Els antics egipcis, que no coneixien les taules de multiplicació, feien càlculs bastant llargs, descompostos en moltes sub-tasques. Potser aquesta sigui una d'aquestes subtasques. No és difícil veure que els càlculs amb aquestes preparacions són molt laboriosos i de poca perspectiva. Potser, per aquest motiu, no veiem la gran contribució de l'Antic Egipte al desenvolupament de les matemàtiques.

Grècia antiga i aritmètica filosòfica

Molts dels coneixements sobre l'Orient antic han estat dominats amb èxit pels antics grecs, coneguts amants de les reflexions abstractes, abstractes i filosòfiques. La pràctica d'ells no era d'interès, però és difícil trobar els millors teòrics i pensadors. Això s'ha beneficiat de la ciència, ja que és impossible aprofundir en aritmètica sense trencar-la amb la realitat. Per descomptat, es poden multiplicar 10 vaques i 100 litres de llet, però no serà possible anar lluny.

Pensant profundament els grecs van deixar una marca significativa en la història, i els seus escrits ens han arribat:

• Euclides i el "Començament".
• Pitagoras.
• Arquimedes.
• Eratòstenes.
• Zeno.
• Anaxàgores.

I, per descomptat, els grecs convertint tot en filosofia, i especialment els continuadors del cas pitagòric, estaven tan interessats en els números que consideraven que eren el misteri de l'harmonia del món. Els números han estat tan estudiats i estudiats que alguns d'ells i els seus parells s'han atribuït propietats especials. Per exemple:

• Els nombres perfectes són aquells que són iguals a la suma de tots els seus divisors, excepte el nombre en si (6 = 1 + 2 + 3).
• Els nombres amigables són nombres, un dels quals és igual a la suma de tots els divisors del segon, i viceversa (els pitagòrics només coneixien un parell: 220 i 284).

Els grecs, que creien que la ciència havia de ser estimada, i no estar amb ella per guanyar, va aconseguir un gran èxit, explorant, jugant i afegint nombres. Cal assenyalar que no totes les seves troballes han trobat una aplicació àmplia, algunes d'elles només es van mantenir "per bellesa".

Pensadors orientals de l'Edat Mitjana

De la mateixa manera, a l'Edat Mitjana, l'aritmètica deu el seu desenvolupament als contemporanis orientals. Els indis ens van donar xifres que utilitzem activament, un terme com "zero" i una versió posicional del sistema de càlcul familiar a la percepció moderna. Des d'al-kasha, que va treballar a Samarcanda al segle XV, hereta els decimals, sense els quals és difícil imaginar l'aritmètica moderna.

En molts sentits, el coneixement d'Europa amb els èxits de l'Est es va fer possible gràcies al treball del científic italià Leonardo Fibonacci, que va escriure el llibre "The Abacus Book", introduint les innovacions orientals. Es va convertir en la pedra angular del desenvolupament de l'àlgebra i l'aritmètica, la investigació i l'activitat científica a Europa.

Aritmètica russa

I, finalment, l'aritmètica, que va trobar el seu lloc i va arrelar a Europa, va començar a estendre's cap a les terres russes. La primera aritmètica russa es va publicar el 1703: era un llibre sobre l'aritmètica de Leonty Magnitsky. Durant molt de temps va romandre com l'únic manual docent sobre matemàtiques. Conté els primers moments d'àlgebra i geometria. Les xifres, que s'utilitzen en els exemples, el primer a Rússia, llibre de text d'aritmètica, àrab. Encara que els números aràbbers es van trobar abans, sobre gravats datats del segle XVII.

El llibre en si està decorat amb imatges d'Arquimedes i Pitagoras, i en el primer full - la imatge de l'aritmètica en forma de dona. Ella se senti al tron, sota el text s'escriu en hebreu la paraula denotant el nom de Déu i, en els passos que condueixen al tron, s'inscriuen les paraules "divisió", "multiplicació", "suma", etc. Un només pot imaginar la significació traïda Aquestes veritats, que ara es consideren comuns.

Un llibre de text de 600 pàgines descriu els aspectes bàsics com la taula d'addició i multiplicació i les aplicacions a les ciències de la navegació.

No és d'estranyar que l'autor escollís imatges de pensadors grecs per al seu llibre, perquè ell mateix estava captivat per la bellesa de l'aritmètica, dient: "L'aritmètica és un numerador, hi ha un art honest i sense terra ...". Aquesta aproximació a l'aritmètica està plenament justificada, perquè és la seva introducció generalitzada que es pot considerar el començament del ràpid desenvolupament del pensament científic a Rússia i l'educació general.

Nombres primers incògnits

Un nombre primer és un nombre natural que només té 2 divisors positius: 1 i ell mateix. Tots els altres números, sense comptar 1, es diuen compostos. Exemples de nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11 i tots els altres que no tenen altres divisors, excepte el número 1 i tu mateix.

Pel que fa al número 1, es troba en un compte especial: existeix la convicció que no s'ha de considerar ni simple ni complex. Una senzilla a simple vista, el nombre simple oculta molts misteris sense resoldre en tu mateix.

El teorema d'Euclides diu que els nombres primers són un conjunt infinit, i Eratòstenes va aparèixer amb un "tamís" aritmètic especial que elimina nombres incòmodes, deixant només els simples.

La seva essència és fer èmfasi en el primer nombre no subratllat i, en el futur, eliminar aquells que són múltiples. Repetim aquest procediment moltes vegades i obtenim una taula de nombres primers.

El teorema principal de l'aritmètica

Entre les observacions sobre nombres primers, cal esmentar de manera especial el teorema bàsic de l'aritmètica.

El teorema bàsic de l'aritmètica diu que qualsevol nombre enter més gran que 1 és senzill o es pot descompondre en un producte de primers en l'ordre dels factors, d'una manera única.

El teorema principal de l'aritmètica s'ha demostrat força engorroso, i la seva comprensió ja no és similar als fonaments més simples.

A primera vista, els nombres primers són un concepte elemental, però això no és així. La física també considerava l'àtom elemental, fins que va trobar un univers sencer dins d'ell. La bella història del matemàtic Don Tsagir "Els primers cinquanta milions de nombres primers" es dedica als nombres primers.

De "tres pomes" a les lleis deductives

El que realment es pot anomenar la base reforçada de tota la ciència són les lleis de l'aritmètica. Com nen, tothom s'enfronta amb aritmètica, estudia el nombre de potes i bolígrafs en nines, el nombre de cubs, pomes, etc. Així que estudiem aritmètica, que passa a unes normes més complexes.

Tota la nostra vida ens fa conèixer les regles de l'aritmètica, que s'han convertit per a l'home comú el més útil de tot el que la ciència dóna. L'estudi dels nombres és "arithmetic-baby", que introdueix una persona al món dels nombres en forma de nombres en la primera infància.

L'aritmètica superior és una ciència deductiva que estudia les lleis de l'aritmètica. La majoria d'ells sabem, encara que potser no sabem les seves formulacions exactes.

La llei d'addició i multiplicació

Qualsevol nombre natural a i b pot expressar-se com a + b, que també és un nombre natural. Pel que fa a l'addició, s'apliquen les següents lleis:

• Un commutatiu que diu que la suma no canvia de la permutació dels summands en llocs, o a + b = b + a.
• Associatiu , que diu que la suma no depèn de la manera d'agrupar els sumands en llocs, o a + (b + c) = (a + b) + c.

Les regles de l'aritmètica, com l'addició, són algunes de les elementals, però són utilitzades per totes les ciències, per no parlar de la vida quotidiana.

Qualsevol nombre natural a i b es pot expressar en el producte a * b o a * b, que també és un nombre natural. Les mateixes lleis de tipus commutatiu i associatiu s'apliquen al producte quant a l'addició:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

És interessant que hi hagi una llei que combini l'addició i la multiplicació, també anomenada llei distributiva o distributiva:

A (b + c) = ab + ac

Aquesta llei ens ensenya a treballar amb claudàtors, revelant-los, de manera que podem treballar amb fórmules més complexes. Són exactament les lleis que ens guiaran pel món estrany i complex de l'àlgebra.

La llei de l'ordre aritmètic

La llei d'ordre utilitza lògica humana cada dia, comparant rellotges i comptant comptes. I, tanmateix, i ha de formalitzar-se en forma de formulacions concretes.

Si tenim dos nombres naturals aub, les següents opcions són possibles:

• A és b, o a = b;
• A és menor que b, o un
• A és major que b, o a> b.

De les tres opcions, només un pot ser just. La llei bàsica que regula l'ordre diu: si a

També hi ha lleis que vinculen l'ordre amb les accions de multiplicació i addició: si a

Les lleis de l'aritmètica ens ensenyen a treballar amb nombres, signes i claudàtors, convertint-ho tot en una harmoniosa simfonia de nombres.

Sistemes de càlcul posicionals i noposicionals

Podem dir que els nombres són un llenguatge matemàtic, de la conveniència del qual depèn molt. Hi ha molts sistemes de càlcul, que, com els alfabets de diferents idiomes, es diferencien entre si.

Penseu el sistema de numeració des del punt de posicions d'impacte en el valor quantitatiu del dígit en aquesta posició. Per exemple, sistema romà és nonpositional on cada nombre es codifica per un conjunt específic de caràcters especials: A / T / X / L / C / D / M. Ells són, respectivament, els números 1/5/10/50/100/500 / 1000. En aquest sistema, la xifra no canvia la seva determinació quantitativa, depenent de en quina posició ha de: .. La primera, segona, etc. Per obtenir els altres números, cal establir la base. Per exemple:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Més familiar per a nosaltres sistema de numeració amb números aràbics és posicional. En aquest sistema el nombre de descàrrega defineix el nombre de dígits, per exemple, nombres de tres dígits: 333, 567, etc. El pes de qualsevol de la baixada depèn d'una posició en la qual la figura és un o l'altre, per exemple la figura 8 en la segona posició té un valor de 80. És típic per al sistema decimal, hi ha un altre sistema posicional tal com binari.

aritmètica binària

Estem familiaritzats sistema decimal, que consisteix en els números d'un sol bit i de múltiples bits. La figura de l'esquerra en el nombre de dígits és deu vegades més gran en importància a la de la dreta. Per tant, hem utilitzat per llegir 2, 17, 467, i així successivament. D. És una secció de la lògica i enfocament diferent, que es diu "l'aritmètica binària." Això no és sorprenent, perquè l'aritmètica binària no ha estat creada per a la lògica humana, i per a l'equip. Si l'aritmètica dels nombres es va originar a partir del recompte, que abstreu més lluny dels béns objecte de l'aritmètica "nu", llavors això no va a treballar amb l'ordinador. Per ser capaços de compartir els seus coneixements amb l'ordinador, un home va haver d'inventar un model de càlcul.

aritmètica binària treballa amb l'alfabet binari, que es compon només de 0 i 1. I l'ús d'aquest alfabet es diu un sistema binari.

A diferència decimal aritmètica binària que la importància de la posició de l'esquerra són ia 10 que no, i 2 vegades. Els números binaris són de la forma 111, 1001 i així successivament. D. Com hem d'entendre aquests números? Per tant, considerem el nombre 1100

1. El primer dígit de l'esquerra - 1 * 8 = 8, tenint en compte que el quart dígit, el que significa que s'ha de multiplicar per 2, obtenim la posició 8.
2. Segon dígit 1 * 4 = 4 (posició 4).
3. El tercer dígit 0 * 2 = 0 (posició 2).
4. El quart dígit 0 * 1 = 0 (posició 1).
5. Així que el nostre nombre 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

És a dir, la transició a una nova categoria a l'esquerra de la seva importància en el sistema binari es multiplica per 2 i el decimal - a 10. Aquest sistema té un inconvenient: és massa gran bits de creixement que es requereixen per registrar nombres. Exemples nombres decimals dvochinyh com es pot veure a la taula següent.

Els nombres decimals es representen en forma binària a continuació.

També s'utilitza octal i sistema de numeració hexadecimal.

Aquesta misteriosa aritmètica

Quina és l'aritmètica, "dos més dos" o misteris inexplorats de nombres? Com es pot veure, l'aritmètica, pot, i el que sembla a primera vista un simple, però no és obvi enganyosa facilitat. És possible estudiar els nens, i juntament amb la tia mussol dels dibuixos animats "Aritmètica-nadó", i es pot submergir-se en la investigació científica profunda ordre gairebé filosòfica. En la història s'ha passat de comptar objectes de culte de la bellesa dels nombres. Una cosa és certa: amb l'establiment dels postulats bàsics de l'aritmètica, tota la ciència pot confiar en el seu fort espatlla.