Progressió aritmètica

Tasques d'una progressió aritmètica existien en l'antiguitat. Van aparèixer i va exigir solucions, perquè tenien una necessitat pràctica.

Per exemple, en un dels papirs de l'antic Egipte, que té un contingut matemàtic, - el papir Rhind (segle XIX aC) - conté un problema: dividir les deu mesures de gra per a deu persones, sempre si la diferència entre cada un d'ells és una vuitena part de les mesures ".

I en els escrits matemàtics dels antics grecs, hi ha elegants teoremes relacionats amb una progressió aritmètica. Així, Hipsicles Alexandria (segle II aC), que ascendeix a una gran quantitat de tasques interessants i afegit catorze llibres al "principi" d'Euclides va formular la idea: "A la progressió aritmètica amb un nombre parell de membres, la quantitat de membres de la segona meitat més que la suma dels membres de 1- el segon al múltiple de la plaça de mig dels membres ".

Prenem un nombre arbitrari de els números naturals (major que zero), 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., que es diu la seqüència numèrica.

Indica la seqüència d'un. nombres de seqüència es diuen els seus membres i en general es denoten lletres amb índexs que indiquen el número de sèrie del membre (A1, A2, A3 ... llegir: «una primera», «un segon», «un 3-rentat", etc. ).

La seqüència pot ser finit o infinit.

I el que és progressió aritmètica? S'entén com una seqüència de nombres obtinguts mitjançant l'addició del membre anterior (n) amb el mateix nombre de d, que és la progressió diferència.

Si d <0, llavors tenim una progressió decreixent. Si d> 0, llavors aquesta progressió es considera estar en augment.

progressió aritmètica es diu finita, si tenim en compte només uns pocs dels seus primers membres. Quan un gran nombre de membres que té una progressió infinita.

Qualsevol progressió aritmètica està donada per la següent fórmula:

an = kn + b, mentre que B i K - alguns números.

Absolutament declaració veritable, que és la inversa: si la seqüència està donada per una fórmula similar, és exactament la progressió aritmètica, que té les propietats de:

1. Cada membre de la progressió - la mitjana aritmètica de l'expressió anterior i després.
2. : Si, a partir de la segona, cada membre - la mitjana aritmètica de l'expressió anterior, i la posterior, és a dir, si la condició, aquesta seqüència - una progressió aritmètica. Aquesta igualtat és alhora un senyal de progrés, per tant, es coneix comunament com un tret característic de la progressió.
   De la mateixa manera, el teorema és cert que reflecteix aquesta propietat: la seqüència - una progressió aritmètica només si aquesta equació és veritable per a qualsevol dels membres de la seqüència, començant amb la segona.

Una propietat característica de tots els números per als quatre progressió aritmètica pot ser expressada per un + am = k + a l', si n + m = k + l (m, n, k - nombre de progressió).

En una progressió aritmètica de qualsevol (N-èsima) membre desitjada es pot trobar mitjançant l'ús de la fórmula següent:

an = a1 + d (n-1).

Per exemple: el primer membre (A1) en una progressió aritmètica es dóna i igual a tres, i la diferència (d) és igual a quatre. Troba necessari quaranta-cinquè membre d'aquesta progressió. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Fórmula an = k + d (n - k) per determinar el terme n-èsim d'una progressió aritmètica a través de cada un del seu membre de k-èsim proporcionat si es coneix.

termes suma d'una progressió aritmètica (suposant que els primers membres n progressió finita) es calcula com segueix:

Sn = (a1 + a) n / 2.

Si coneix la diferència en progressió aritmètica, i el primer membre, per calcular una altra fórmula útil:

Sn = ((2A1 + d (n-1)) / 2) * n.

La progressió suma aritmètica que comprèn n membres, es calculen com segueix:

Sn = (a1 + a) * n / 2.

Les fórmules de selecció per als càlculs depèn de les condicions i els problemes de dades inicials.

Els nombres naturals qualsevol nombre com 1,2,3, ..., n, ...- exemple més simple d'una progressió aritmètica.

A més, hi ha una progressió aritmètica i la geomètrica que posseeix les propietats i característiques.