La suma dels angles d'un triangle. El teorema de la suma dels angles d'un triangle

El triangle és un polígon que té tres costats (tres angles). Molt sovint, la part denotada per lletres majúscules petites, que representen vèrtexs oposats corresponents. En aquest article es fa una ullada a aquests tipus de formes geomètriques, teorema, que defineix el que és igual a la suma dels angles d'un triangle.

Tipus d'angles més grans

Els següents tipus de polígon amb tres vèrtexs:

• aguda en angle recte, en el qual tots els angles són aguts;
• rectangular que té un angle recte, el costat que el forma, es fa referència a les cames, i el costat que està disposat oposat a l'angle recte es diu la hipotenusa;
• obtús quan un angle és obtús ;
• isòsceles, els dos costats són iguals, i es diuen lateral, i la tercera - un triangle amb una base;
• equilàter que té tres costats iguals.

propietats

Assignar les propietats bàsiques que són característiques de cada tipus de triangle:

• oposat al costat major és sempre major angle, i viceversa;
• són iguals els angles oposats de la igualtat de les parts més gran, i viceversa;
• en qualsevol triangle té dos angles aguts;
• angle exterior més gran que qualsevol angle intern no adjacent a la mateixa;
• la suma de dos angles és sempre menys de 180 graus;
• angle exterior és igual a la suma de les altres dues cantonades, que no estan mezhuyut amb ell.

El teorema de la suma dels angles d'un triangle

El teorema afirma que si se sumen totes les cantonades de la forma geomètrica, que es troba en el pla euclidià, llavors la seva suma serà de 180 graus. Anem a tractar de demostrar aquest teorema.

Deixeu que tenim un triangle arbitrari de vèrtexs KMN. A la part superior de M sostindrà un paral·lel directe a la línia KN (fins i tot aquesta línia es diu Euclides). Cal assenyalar el punt A de manera que els punts K i A estan disposats de diferents costats de la línia MN. S'obté el mateix angle d'AMS i MUF, que, com l'interior, es troben transversalment per formar intersecció MN en conjunció amb directa CN i MA, que són paral·leles. D'això es dedueix que la suma dels angles del triangle, que es troba en els vèrtexs de M i N és igual a la grandària de l'angle de CMA. Tots els tres angles consisteixen en una suma igual a la suma dels angles d'KMA i MCS. Atès que les dades són angles interns relatius línies paral·leles costats CL i CM MA en intersecció, la seva suma és de 180 graus. Això demostra el teorema.

resultat

Per l'anterior, el teorema anterior implica el següent corol·lari: tot triangle té dos angles aguts. Per demostrar això, anem a suposar que aquesta figura geomètrica té només un angle agut. També es pot assumir que cap de les cantonades no són nítides. En aquest cas ha de ser almenys dos angles, la magnitud dels quals és igual o major de 90 graus. Però llavors la suma dels angles és major de 180 graus. Però això no pot ser, com d'acord amb els angles teorema de la suma d'un triangle és igual a 180 ° - no més, no menys. Això és el que havia de ser provat.

Cantonades exteriors de propietat

Quina és la suma dels angles d'un triangle, que són externes? La resposta a aquesta pregunta es pot obtenir mitjançant l'aplicació d'una de dues maneres. La primera és que vostè necessita per trobar la suma dels angles, que es prenen un a cada vèrtex, és a dir, tres angles. El segon implica que cal trobar la suma dels sis angles en els vèrtexs. Per fer front al començament de la primera realització. Per tant, el triangle conté sis cantonades exteriors - a la part superior de cada un dels dos. Cada parell té angles iguals entre si, ja que són verticals:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

A més, se sap que l'angle exterior d'un triangle és igual a la suma dels dos interiors, que no són mezhuyutsya amb ell. Per tant,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

D'això es desprèn que la suma dels angles exteriors, que són preses una per una prop de cada vèrtex serà igual a:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Donat el fet que la suma dels angles és igual a 180 graus, es pot argumentar que els ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Això vol dir que ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Si s'utilitza la segona opció, la suma dels sis angles serà corresponentment major dues vegades. És a dir, la suma dels angles d'un triangle exterior serà:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

triangle rectangle

El que és igual a la suma dels angles d'un triangle rectangle, és l'illa? La resposta és, de nou, del teorema, que estableix que els angles d'un triangle sumen 180 graus. Un so de la nostra afirmació (propietat) de la següent manera: en un triangle rectangle angles aguts se sumen als 90 graus. Es demostra la seva veracitat. Que no hi hagi triangle donat KMN, que ∟N = 90 °. Cal provar que ∟K ∟M = + 90 °.

Per tant, segons el teorema de la suma dels angles ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. En aquesta condició, es diu que ∟N = 90 °. Resulta ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. És a dir ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Això és el que hem de provar.

A més de les propietats anteriors d'un triangle rectangle, pot afegir els següents:

• angles, que es troben contra les cames són agudes;
• la hipotenusa del triangle més gran que qualsevol de les cames;
• la suma de les cames més que la hipotenusa;
• costat del triangle, que es troba oposat a l'angle de 30 graus, la meitat de la hipotenusa, que és igual a la seva mitjana.

Com una altra característica de la forma geomètrica es poden distingir teorema de Pitàgores. Ella sosté que en un triangle amb un angle de 90 graus (rectangulars), la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa.

La suma dels angles d'un triangle isòsceles

Anteriorment hem dit que un triangle isòsceles és un polígon amb tres vèrtexs, que conté dos costats iguals. Aquesta propietat es coneix figura geomètrica: els angles a la base igual. Provem això.

Prengui el triangle KMN, que és isòsceles, SC - la seva base. Estem obligats a demostrar que ∟K = ∟N. Per tant, anem a suposar que MA - KMN és la bisectriu del nostre triangle. ICA triangle amb el primer signe d'igualtat és el triangle MNA. És a dir, per hipòtesi atès que CM = NM, MA és una banda comú, ∟1 = ∟2, perquè MA - aquesta bisectriu. L'ús de la igualtat dels dos triangles, un podria argumentar que ∟K = ∟N. Per tant, el teorema queda demostrat.

Però ens interessa, el que és la suma dels angles d'un triangle (isòsceles). A causa de això que no té les seves característiques, anem a començar des del teorema discutit prèviament. És a dir, es pot dir que ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, o 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (com ∟K = ∟N). Això no va a demostrar la propietat, com el teorema de la suma dels angles d'un triangle es va demostrar anteriorment.

Excepte les propietats considerades de les cantonades d'un triangle, també existeixen tals declaracions importants:

• en una alçada de triangle equilàter, que havia estat rebaixat a la base, és al mateix temps la bisectriu mitjana de l'angle que està entre els costats iguals i l'eix de simetria de la seva base;
• mitjana (bisectriu, altitud), que estan subjectes als costats d'una figura geomètrica, són iguals.

triangle equilàter

També es diu la dreta, és el triangle, que són iguals per a totes les parts. I per tant també iguals i angles. Cada un d'ells és de 60 graus. Provem aquesta propietat.

Suposem que tenim un triangle KMN. Sabem que KM = HM = KH. Això vol dir que, d'acord amb la propietat dels angles situats a la base d'un triangle equilàter ∟K = ∟M = ∟N. Atès que, d'acord amb la suma dels angles d'un triangle teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, llavors x 3 = 180 ° ∟K o ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Per tant, l'afirmació es prova. Com es veu a partir de l'evidència anterior basat en el teorema anterior, la suma dels angles d'un triangle equilàter, com la suma dels angles de qualsevol altre triangle és de 180 graus. Un cop més demostrar aquest teorema no és necessari.

Encara hi ha algunes propietats característiques d'un triangle equilàter:

• alçada mitjana bisectriu en una figura geomètrica idèntics, i la seva longitud es calcula com (a x √3): 2;
• si aquest polígon que circumscriu el cercle, llavors el radi serà igual a (a x √3): 3;
• si inscrita en un triangle equilàter cercle, el seu radi seria (a x √3): 6;
• àrea de la figura geomètrica es calcula per la fórmula: (a2 x √3): 4.

triangle obtús

Per definició, un triangle obtusangle, una de les seves cantonades és d'entre 90 a 180 graus. Però donat el fet que els altres dos angles de la forma geomètrica aguda, es pot concloure que no superen els 90 graus. Per tant, la suma dels angles d'un triangle teorema funciona en el càlcul de la suma dels angles d'un triangle obtús. Per tant, podem dir amb seguretat, basat en el teorema anterior que la suma dels angles d'un triangle obtús és de 180 graus. Un cop més, aquest teorema no ha de tornar a prova.