Pèndol: període i l'acceleració de la fórmula

El sistema mecànic que consisteix en un punt material (el cos), que penja d'un filament inextensible sense pes (la seva massa és menyspreable en comparació amb el pes del cos) en un camp gravitatori uniforme, anomenat el pèndol matemàtic (un altre nom - l'oscil·lador). Hi ha altres tipus de dispositius. En lloc d'una barra sense pes de filament es pot utilitzar. Pèndol pot revelar clarament l'essència de molts fenòmens interessants. Quan les petites vibracions d'amplitud del seu moviment es diu harmònic.

Informació general sobre el sistema mecànic

La fórmula del període d'oscil·lació del pèndol va ser criat Huygens científic holandès (1629-1695 gg.). Aquest contemporani d'Isaac Newton era molt aficionat a la mecànica. En 1656 es va crear el primer rellotge amb un mecanisme de pèndol. Van mesurar el temps amb una precisió extrema per a aquests moments. Aquesta invenció va ser un pas important en el desenvolupament d'experiments físics i activitats pràctiques.

Si el pèndol està en una posició d'equilibri (penjant verticalment), la força de la gravetat s'equilibrarà per la força de tensió del fil. pèndol de pla sobre una fils no estirables és un sistema amb dos graus de llibertat de comunicació. En canviar només un component de canvi de les característiques de totes les seves parts. Per exemple, si un fil se substitueix per una vareta, a continuació, aquest sistema mecànic és de només 1 grau de llibertat. Quin és, doncs, les propietats d'un pèndol matemàtic? En aquest senzill sistema, sota la influència d'una pertorbació periòdica, apareix el caos. En aquest cas, quan el punt de suspensió no s'està movent, i oscil·la un pèndol hi ha una nova posició d'equilibri. Si les ràpides fluctuacions cap amunt i avall d'aquest sistema mecànic es converteix en posició estable "a l'inrevés." També té el seu nom. Es crida l'Kapitza pèndol.

Les propietats del pèndol

El pèndol té propietats molt interessants. Tots ells estan suportats per les lleis físiques conegudes. El període d'oscil·lació del pèndol qualsevol altre depèn de diverses circumstàncies com ara la mida i la forma del cos, la distància entre el punt de suspensió i el centre de gravetat, distribució de pes respecte a aquest punt. Per això, la definició del període penjant cos és tot un repte. És molt més fàcil de calcular el període d'un pèndol simple, la fórmula és la següent. Com a resultat de l'observació d'aquests patrons es poden establir en els sistemes mecànics similars:

• Si, mentre es manté la mateixa longitud del pèndol, suspès d'una varietat de càrregues, el període de l'oscil·lació obtenir el mateix, encara que el seu pes varia en gran mesura. En conseqüència, el període del pèndol no depèn en el pes de la càrrega.

• Si el sistema comença a declinar en el pèndol no és massa gran, però de diferents angles, que fluctuen amb el mateix període, però a diferents amplituds. Mentre que les desviacions del centre d'equilibri no és massa grans fluctuacions en la seva forma han de ser prou a prop harmònica. El període d'un pèndol tal no depèn de l'amplitud de vibració. Aquesta propietat del sistema mecànic es diu isocronisme (a "Cronos" grecs - temps "Izosov" - igual).

El període d'un pèndol simple

Aquesta xifra representa el període natural d'oscil·lació. Tot i la formulació de complex, el procés en si és molt simple. Si la longitud del fil matemàtica pèndol L, i l'acceleració de la gravetat g, Aquest valor és igual:

T = 2π√L / g

Petit període d'oscil·lacions naturals de cap manera no depèn de la massa del pèndol i l'amplitud d'oscil·lació. En aquest cas, com un pèndol matemàtic es mou amb longitud reduïda.

Oscil·lacions d'un pèndol matemàtic

pèndol matemàtic oscil·la, que pot ser descrit per una simple equació diferencial:

x + ω2 sin x = 0,

on x (t) - funció desconeguda (aquest angle de desviació des de la posició inferior d'equilibri en el moment t, expressat en radiants); ω - una constant positiva que es determina a partir dels paràmetres del pèndol (ω = √g / L, on g - l'acceleració de la gravetat, i L - la longitud d'un pèndol simple (suspensió).

Equació petites oscil·lacions prop de la posició d'equilibri (equació harmònic) com segueix:

x + ω2 sin x = 0

el moviment oscil·latori del pèndol

Pèndol, el que fa que les petites oscil·lacions, sinusoide en moviment. Equació diferencial de segon ordre compleix tots els requisits i paràmetres de tal moviment. Per determinar la ruta que necessita per ajustar la velocitat i coordenades, que més tard es van determinar constants independents:

x = A sin (θ ₀ +? t),

on θ ₀ - fase inicial, A - amplitud de l'oscil·lació, ω - freqüència cíclica determinada a partir de les equacions de moviment.

Pendulum (fórmula per grans amplituds)

Aquest sistema mecànic, realitzi les seves oscil·lacions amb una gran amplitud, que està subjecta a les lleis de trànsit més complexes. que es calculen segons la fórmula per a un pèndol tals:

sin x / 2 = u * sn (? t / u),

on sn - sine Jacobi, que per o <1 és una funció periòdica, i per a petites o coincideix amb el simple si trigonomètric. El valor de T es determina mitjançant la següent expressió:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

on ε = I / ML2 (ML2 - energia del pèndol).

Determinació del període d'oscil·lació no lineal del pèndol per la següent fórmula:

T = 2π / Ω,

on Ω = π / 2 * ω / 2K (o), K - integral el·líptica, π - 3,14.

el moviment de pèndol de la separatriu

Es diu trajectòria separatriu del sistema dinàmic, en el qual un espai de fase de dues dimensions. Pèndol es mou en una forma no periòdica. En el punt de temps infinitament lluny que cau des de la posició superior extrema cap a una velocitat zero, i després està guanyant gradualment. Amb el temps es va aturar, tornant a la seva posició original.

Si l'amplitud d'oscil·lació del pèndol s'acosta al nombre pi, es diu que el moviment en el pla de fase està prop de la separatriu. En aquest cas, sota l'acció d'una petita força de conducció periòdica del sistema mecànic exhibeix comportament caòtic.

En el cas d'un pèndol simple de la posició d'equilibri amb un angle cp passa força tangencial Fτ = sin φ -mg gravetat. signe "menys" vol dir que el component tangencial dirigida a la direcció oposada a la direcció de la desviació del pèndol. Quan es fa referència a través de desplaçament pèndol x al llarg d'un arc circular amb un radi L és igual a la seva angular φ desplaçament = x / L. La segona llei Isaaka Nyutona, dissenyat per a la projecció del vector d'acceleració i la força donar el valor desitjat:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Amb base en aquesta relació, és clar que el pèndol és un sistema no lineal, com una força que tendeix a tornar a la seva posició d'equilibri, no sempre és proporcional al desplaçament x, a sin x / L.

Només quan el pèndol matemàtic realitza petites vibracions, és un oscil·lador harmònic. En altres paraules, es converteix en un sistema mecànic capaç de realitzar oscil·lacions harmòniques. Aquesta aproximació és vàlida per a gairebé angles de 15-20º. Pèndol amb grans amplituds no és harmoniosa.

La llei de Newton per a les petites oscil·lacions d'un pèndol

Si el sistema mecànic realitza petites oscil·lacions, la llei de Newton segon es veurà així:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sobre aquesta base, es pot concloure que l'acceleració tangencial d'un pèndol simple és proporcional al seu desplaçament amb el signe "menys". Aquesta és una condició per la qual el sistema es converteix en un oscil·lador harmònic. factor de proporcionalitat Mòdul d'entre el desplaçament i l'acceleració és igual al quadrat de la freqüència angular:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Aquesta fórmula reflecteix la freqüència natural de petites oscil·lacions d'aquest tipus de pèndol. Sobre aquesta base,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Els càlculs basats en la llei de conservació de l'energia

Propietats oscil·lants moviments pendulars poden descriure amb l'ajuda de la llei de conservació de l'energia. Cal tenir en compte que l'energia potencial de l' pèndol en un camp gravitacional és:

E = mgΔh = mgl (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Plena d'energia mecànica és igual al potencial i cinètica màxima: Epmax = E = Ekmsx

Després d'haver escrit la llei de conservació de l'energia, prenent la derivada dels costats esquerre i dret de l'equació:

Ep + Ek = const

Ja que el derivat de les constants és igual a 0, llavors (Ep + Ek) '= 0. La derivada de la suma és igual a la suma dels derivats de:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

Per tant:

Mg / L * XV + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Basat en l'última fórmula, trobem: α = - g / L * x.

Aplicació pràctica del pèndol matemàtic

L'acceleració de la caiguda lliure varia amb la latitud, perquè la densitat de l'escorça al voltant del planeta no idèntics. On les roques es produeixen amb una densitat més alta, serà lleugerament superior. Acceleració del pèndol matemàtic s'utilitza sovint per a l'exploració. En el seu aspecte ajuda de diferents minerals. Simplement comptant el nombre d'oscil·lacions d'un pèndol, és possible detectar el carbó o mineral en les entranyes de la Terra. Això es deu al fet que aquests recursos tenen una densitat i el pes de més que jeu sota les roques soltes.

pèndol matemàtic utilitzat pels estudiosos prominents com ara Sòcrates, Aristòtil, Plató, Plutarc, Arquimedes. Molts d'ells van creure que el sistema mecànic pot influir en la destinació i la vida. Arquimedes utilitza el pèndol matemàtic amb els seus càlculs. Avui en dia, molts ocultistes i vidents utilitzen aquest sistema mecànic per a l'aplicació de les seves profecies, o la recerca de persones desaparegudes.

El famós astrònom i científic francès, Flammarion per a la seva investigació també utilitzen un pèndol matemàtic. Va afirmar que amb la seva ajuda va ser capaç de predir el descobriment d'un nou planeta, el sorgiment del meteorit de Tunguska, i altres esdeveniments importants. Durant la Segona Guerra Mundial a Alemanya (Berlín) treballat com un institut especialitzat del pèndol. Avui dia, aquest tipus de recerca no està disponible Munic Institut de Parapsicologia. El seu treball amb el pèndol el personal d'aquesta institució anomenada "radiesteziey".