Com calcular l'àrea d'una piràmide: la base, laterals i complet?

En preparació per a l'examen de matemàtiques en els estudiants han de sistematitzar el coneixement d'àlgebra i geometria. M'agradaria combinar tota la informació coneguda, com ara la forma de calcular l'àrea d'una piràmide. D'altra banda, a partir de la part inferior i cares laterals fins que tota l'àrea de superfície. Si les cares laterals de la situació és clara, ja que són triangles, la base és sempre diferent.

Com serà quan l'àrea de la base de la piràmide?

Pot ser absolutament qualsevol figura d'un triangle arbitrari a la n-gon. I aquesta base, a excepció de la diferència en el nombre d'angles, pot ser xifra correcta o incorrecta. En l'interès dels estudiants en l'examen de les tasques es troben només els treballs amb les xifres correctes a la base. Per tant, només a parlar d'ells.

triangle equilàter

Això és equilàter. Un que totes les parts són iguals i són designats per la lletra "a". En aquest cas, la superfície de base de la piràmide es calcula per la fórmula:

S = (a ² * √3) / 4.

plaça

La fórmula per calcular la seva àrea és la més senzilla, és "a" - banda està una altra vegada:

I S = ^2.

Arbitrària n-gon regular de

Als costats del polígon de la mateixa designació. Pel nombre d'angles utilitzat lletra llatina n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Com entrar al càlcul de l'àrea de la superfície lateral i completa?

Ja que la xifra de base és correcta, llavors totes les cares de la piràmide són iguals. Cada un dels quals és un triangle isòsceles, ja que les vores laterals són iguals. Llavors, per tal de calcular l'àrea d'un costat de la piràmide necessitar fórmula que consisteix en la suma de monomis idèntiques. El nombre de termes es determina per la quantitat dels costats de la base.

L'àrea d'un triangle isòsceles es calcula per la fórmula en què la meitat del producte de base es multiplica per l'altura. Aquesta altura de la piràmide flama apotema. La seva designació - "A". La fórmula general per a l'àrea de la superfície lateral és la següent:

S = ½ P * A, on P - perímetre de la base de la piràmide.

Hi ha vegades quan no se sap que el costat de base, però les vores laterals són (a) plana i l'angle en el vèrtex (α). Llavors es basa utilitzar la següent fórmula per calcular l'àrea lateral de la piràmide:

S = n / 2 a ² * sin α.

Tasca № 1

Condició. Trobar l'àrea total de la piràmide, si la seva base és un triangle equilàter amb una banda de 4 cm i té el valor √3 apotema cm.

Decisió. S'ha de començar amb el càlcul del perímetre de la base. Atès que aquest és un triangle regular, llavors P = 3 * 4 = 12 cm apotema Com se sap, un pot calcular immediatament la zona de tota la superfície lateral:. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Per obtenir el triangle de base és el valor de la zona (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Per determinar tota l'àrea que necessiti doblar els dos valors resultants: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Resposta. 10√3 ^cm2.

Problema № 2

Condició. Hi ha una piràmide quadrangular regular. La longitud de la base és igual a 7 mm, la vora lateral - 16 mm. El que necessita saber la seva superfície.

Decisió. Des del poliedre - rectangular i correcta, en la seva base és un quadrat. En sentir àrea de la base i els costats laterals poder explicar la piràmide quadrada. La fórmula per a la plaça s'ha donat anteriorment. I sé totes les cares laterals del triangle. Per tant, es pot utilitzar la fórmula d'Heró per calcular les seves àrees.

Els primers càlculs són senzills i condueixen a aquest número: 49 ^{mm 2.} Per calcular el segon valor de necessitar semiperímetre: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Ara podem calcular l'àrea d'un triangle isòsceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 ^{mm 2.} Hi ha quatre triangles, de manera que el càlcul dels nombres finals hauran de ser multiplicat per 4.

Obtingut: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 ^{mm 2.}

Resposta. 267.576 valor desitjat de ² mm.

Tasca № 3

Condició. En piràmide quadrangular regular és necessària per calcular l'àrea. Se sap costat de la plaça - 6 cm i l'altura - 4 cm.

Decisió. La manera més fàcil d'utilitzar la fórmula per al producte del perímetre i apotema. El primer valor es troba simplement. El segon una mica més difícil.

Haurem de recordar el teorema de Pitàgores i considerar un triangle rectangle. Està formada per l'altura de la piràmide i apotema, que és la hipotenusa. La segona etapa és la meitat del costat de la plaça, com una alçada poliedre cau al centre de la mateixa.

apotema afavorida (la hipotenusa d'un triangle rectangle) és igual a √ (3 ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Ara bé, és possible calcular el valor desitjat: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Resposta. 96 ^cm2.

Problema № 4

Condició. Dana piràmide hexagonal regular. Els costats de la seva base igual a 22 mm, les vores laterals - 61 mm. Quin és l'àrea de la superfície lateral d'aquest poliedre?

Decisió. El raonament en ella són els mateixos que es descriu a l'№2 tasca. Només se li va donar la piràmide allí a la plaça a la base, i ara és un hexàgon.

El primer pas es calcula per l'àrea de la base de la fórmula anterior ^{(6 * 22 feb) / (} 4 * tg (180 º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Ara cal trobar un mitjà en el perímetre d'un triangle isòsceles, que és una cara lateral. (22 + 61 * 2):. = 72 cm 2 roman en la fórmula d'Heron per calcular l'àrea de cada un triangle i, a continuació, es multiplica per sis vegades i la que va resultar la base.

Els càlculs sobre la fórmula d'Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Els càlculs que proporcionaran superfície lateral: 660 * 6 = 3.960 ^cm2. Queda per afegir a ells per esbrinar tota la superfície: 5217,47≈5217 ^cm2.

Resposta. Motius - 726√3 ^cm2, la superfície lateral - 3960 ^cm2, tota la zona - 5.217 ^cm2.