La regla de Cramer i la seva aplicació

la regla de Cramer - és un dels mètodes exactes per a la resolució de sistemes d'equacions algebraiques lineals (Slough). La seva precisió a causa de la utilització dels determinants de la matriu del sistema, així com algunes de les restriccions imposades en la prova del teorema.

Un sistema d'equacions lineals amb coeficients que pertany a, per exemple, una pluralitat de R - nombres reals d'incògnites x1, x2, ..., xn és una col·lecció d'expressions

EA2 x1 + x2 + AI2 ... ain x n = BI amb i = 1, 2, ..., m, (1)

on aij, bi - nombres reals. Cadascuna d'aquestes expressions es diu una equació lineal, aij - coeficients de les incògnites, bi - coeficients independents d'equacions.

solució de (1) es refereix a n-dimensional vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), en la qual la substitució en el sistema per al incògnites x1, x2, ..., xn, cadascuna de les línies en el sistema es torna millor equació .

El sistema es diu consistent si té almenys una solució, i inconsistents, si coincideix amb el conjunt solució del conjunt buit.

Cal recordar que per tal de trobar solucions als sistemes d'equacions lineals utilitzant el mètode de Cramer, sistemes de matriu han de ser quadrats, que vol dir bàsicament el mateix nombre d'incògnites i equacions en el sistema.

Per tant, per utilitzar el mètode de Cramer, ha almenys saber el que la matriu és un sistema d'equacions algebraiques lineals, i que s'emet. I en segon lloc, per comprendre el que es diu el determinant de la matriu i les seves pròpies habilitats de càlcul.

Suposem que aquest coneixement que posseeixen. Meravellós! Llavors vostè ha de acaba de memoritzar fórmules que determinen mètode de Kramer. Per simplificar la memorització utilitzar la següent notació:

• Det - el determinant principal de la matriu del sistema;

• deti - és el determinant de la matriu obtinguda a partir de la matriu primària del sistema mitjançant la substitució de la i-èsima columna de la matriu a un vector columna els elements són els costats drets de les equacions algebraiques lineals;

• n - el nombre d'incògnites i equacions en el sistema.

Llavors càlcul regla de Cramer i-èsim xi component (i = 1, .. n) n-dimensional vector x pot escriure com

xi = deti / Det, (2).

En aquest cas, Det estrictament diferent de zero.

La singularitat de la solució del sistema quan es proporciona conjuntament per la condició de desigualtat del determinant principal del sistema a zero. En cas contrari, si la suma del (xi), ajustat, estrictament positiu, llavors SLAE una matriu quadrada és inviable. Això pot ocórrer en particular quan almenys un de diferent de zero deti.

Exemple 1. Per resoldre el sistema LAU tridimensional segons la fórmula de Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 abr,
5 x1 + x2 + x3 = 29 febrer,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Decisió. Anotem la matriu de la línia del sistema per línia, on Ai - és la fila d'ordre i de la matriu.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Columna coeficients gratuït B = (31 29 d'octubre).

El sistema principal és el determinant Det
Det = a11 a22 A33 a 12 A23 a31 + + a31 a21 a32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Per calcular la permutació det1 usant a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. llavors
det1 = b1 a22 A33 a 12 A23 + b3 + b2 a31 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 A23 - A33 a 12 b2 = ... = -81.

De la mateixa manera, per calcular det2 ús substitució a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, i, en conseqüència, per calcular DET3 - a13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
A continuació, pot comprovar que det2 = -108, i DET3 = - 135.
D'acord amb les fórmules Cramer trobar x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Resposta: x ° = (3,4,5).

Basant-se en l'aplicabilitat d'aquesta regla, el mètode de Kramer sistemes d'equacions lineals resoldre es pot utilitzar indirectament, per exemple, per investigar el sistema sobre el nombre possible de solucions en funció del valor d'un paràmetre k.

Exemple 2. Per determinar en quins valors de la k desigualtat paràmetre | kx - i - 4 | + | x + ki + 4 | <= 0 té exactament una solució.

Decisió.
Aquesta desigualtat, per la definició de la funció del mòdul es pot realitzar només si les dues expressions són zero simultàniament. Per tant, aquest problema es redueix a trobar la solució d'equacions algebraiques lineals

kx - i = 4,
x + ki = -4.

La solució a aquest sistema només si és el principal determinant de la
Det = k ^ {2} + 1 és diferent de zero. És clar que aquesta condició es compleix per a tots els valors reals del paràmetre k.

Resposta: per a tots els valors reals del paràmetre k.

Els objectius d'aquest tipus també es poden reduir molts problemes pràctics en el camp de les matemàtiques, física o química.